题目内容
已知O是正三角形ABC内部一点，
+2
+3
=
，则△ABC的面积与△OAC的面积之比是（ ）
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
A、
| ||
B、
| ||
| C、3 | ||
| D、5 |
分析：本题考查的知识点是向量在几何中的应用及三角形重心的性质，由
+2
+3
=
，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件对两个三角形的面积进行探究即可
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
解答：
解：
+2
+3
=
，变为
+
+2
+2
=
如图D，E分别是对应边的中点
由平行四边形法则知
+
=2
，2
+2
=4
故
=-2
由于正三角形ABC
故S△AOC=
S△ADC=
×
×S△ABC=
S△ABC
又D，E是中点，故O到AB的距离是正三角形ABC高的一半
所以S△AOB=
×S△ABC
∴△OAC的面积与△OAB的面积之比为
，即△ABC的面积与△OAC的面积之比是
．
故选C．
解：| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
| OA |
| OC |
| OB |
| OC |
| 0 |
由平行四边形法则知
| OA |
| OC |
| OE |
| OB |
| OC |
| OD |
故
| OE |
| OD |
由于正三角形ABC
故S△AOC=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
又D，E是中点，故O到AB的距离是正三角形ABC高的一半
所以S△AOB=
| 1 |
| 2 |
∴△OAC的面积与△OAB的面积之比为
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
故选C．
点评：本题考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义，本题中把两个三角形的面积都用三角形ABC的面积表示出来，这是求比值问题时常采用的思路，统一标准．
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