Question

如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；
（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

Answer 1

（1）作CE∥AB交AD的延长线于E，
∵AB⊥AD，
∴CE⊥AD．
又∵SA⊥面ABCD，
∴CE⊥SA，SA∩AD=A，
∴CE⊥面SAD，SE是SC在面SAD内的射影，
∴∠CSE=θ是SC与平面ASD所成的角，
易得SE=

2

，SC=

3

，
∴在Rt△CES中，cosθ=

CE

SC

=

6

3

（2）由SA⊥面ABCD，知面ABCD⊥面SAB，
∴△SCD在面SAB的射影是△SAB，
而△SAB的面积S₁=

1

2

×SA×AB=

1

2

，
设SC的中点是M，∵SD=CD=

5

2

，
∴DM⊥SC，DM=

2

2

∴△SCD的面积S₂=

1

2

×SC×DM

6

4

设平面SAB和平面SCD所成角为φ，
则由面积射影定理得cosφ=

S△SAB

S△SCD

=

6

3