题目内容

如图,直线l交双曲线及其渐近线于A、B、C、D四点,求证：|AB|=|CD|.

证明:当直线l的斜率不存在时,依据对称性知|AB|=|CD|,

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m.

由

得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0.

∴AD中点M的横坐标为.

由得BC中点N的横坐标为.∴xm=xn.

而M、N均在直线l上,∴M、N重合.

∴|AB|=|CD|.

综上|AB|=|CD|.

练习册系列答案
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精英家教网如图，已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：2
OD
=
OF
+
OP
（O为原点）且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a=2，过点B的直线l交双曲线于 M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使?
CM
•
CN
为常数，若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．
精英家教网如图，已知双曲线C：
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率e=
2
，F1、F2分别为双曲线C的上、下焦点，M为上准线与渐近线在第一象限的交点，且
MF1
•
MF2
=-1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l交双曲线C的渐近线l1、l2于P1、P2，交双曲线于P、Q，且
P1P
=2
PP2
，求|
PQ
|的最小值．
（2008•奉贤区二模）如图：中心为原点的双曲线的一条渐近线为y=x，焦点A、B在x轴上，焦距|AB|为2
2
．
（1）求此双曲线方程；
（2）过P（2，0）的直线L交双曲线于点M、N，Q(
1
2
，0)．求证：对于任意直线L，数量积
QM
•
QN
是定值，并求出该定值．
（3）在（2）的条件下，求|QM|2+|QN|2-|MN|2的值．

（08年大连市双基测试）（12分）  如图，双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线.

    （1）求双曲线C的方程；

   （2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与双曲线C的顶点不重合）. 当，求Q点的坐标.

 

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