Question

已知定义在R上的函数 f （x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）当a=

1

3

时，令h（x）=f′（x）+6x．求证：当x∈（0，+∞）时，h（x）≥2elnx（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（1）由x=1是函数f（x）的一个极值点则知f'（1）=0，代入导函数即可求a的值；
（2）欲求函数f（x）的单调性，先求函数f（x）的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函数的单调区间，本题需讨论a与0的关系；
（3）先求出h（x）的解析式，要证：h（x）≥2elnx  （ x＞0），只需证：h（x）-2elnx≥0  （x＞0），即证x²-2elnx≥0，然后利用导数研究不等式左侧函数的最小值即可证得结论．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³-3x²，
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f'（1）=0，
∴a=2；
（2）①当a=0时，f（x）=-3x²，
此时，f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数；
②当a≠0时，f′（x）=3ax（x-

2

a

），令f′（x）=0，得x=0，x=

2

a

，
当a＞0时，f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）上是增函数，在（0，

2

a

）上是减函数，
当a＜0时，f（x）在（-∞，

2

a

）和（0，+∞）上是减函数，在（

2

a

，0）上是增函数；
（3）当a=

1

3

时，f（x）=

1

3

x3-3x2，f′（x）=x²-6x，h（x）=f′（x）+6x=x²，
要证：h（x）≥2elnx  （ x＞0），只需证：h（x）-2elnx≥0  （x＞0），即证x²-2elnx≥0，
设F（x）=x²-2elnx，得F′（x）=2x-

2e

x

=

2 (x+ e ) (x- e )

x

，
令F′（x）=0，得x=

e

，x=-

e

（ 舍去），
∴F（x）在（0，

e

）上是减函数，在（

e

，+∞）上是增函数，
∴F（x）_min=F（x）_极小值=F（

e

）=

e

2-2eln

e

=0，
∴F（x）≥F（x）_min=0，即x²-2elnx≥0，∴原不等式成立．

点评：本题考查了利用导数研究函数在某点取得极值的条件、函数单调性的性质及证明，其中熟练掌握函数单调性与导函数符号之间的关系是解答本题的关键．另外还有分类讨论的思想，属于中档题．