Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2

C

2

+ccos2

A

2

=

3

2

b．
（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；
（Ⅱ）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对其角A，B，C的对边分别为a，b，c，可得acos2

C

2

+ccos2

A

2

=

3

2

b，利用倍角公式进行化简，再利用正弦定理进行证明；
（Ⅱ）因为∠B=60°，b=4，利用余弦定理得4²=a²+c²-2accos60°，求出ac的值，利用三角形的面积的公式进行求解；

解答：解：（Ⅰ）acos2

C

2

+ccos2

A

2

=

3

2

b，
即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，
由正弦定理得：
sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，
即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
可得sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可得，
整理得：a+c=2b，
故a，b，c为等差数列；
（Ⅱ）由∠B=60°，b=4及余弦定理得：4²=a²+c²-2accos60°，
∴（a+c）²-3ac=16，
又由（Ⅰ）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16，
∴△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

acsin60°=4

3

；

点评：此题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列的性质，是一道综合题，也是一道基础题；