Question

将编号为1，2，3，4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数．
（Ⅰ）求1号球恰好落入1号盒子的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 设事件A表示“1号球恰好落入1号盒子”，P(A)=

A 3 3

A 4 4

=

1

4

，由此能得到1号球恰好落入1号盒子的概率．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，4，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ） 设事件A表示“1号球恰好落入1号盒子”，
则P(A)=

A 3 3

A 4 4

=

1

4

所以1号球恰好落入1号盒子的概率为

1

4

…（5分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，4 …（6分）
P(ξ=0)=

3×3

A 4 4

=

3

8

，
P(ξ=1)=

4×2

A 4 4

=

1

3

，
P（ξ=2）=

6

A 4 4

=

1

4

，
P(ξ=4)=

1

A 4 4

=

1

24

（每个1分）…（10分）
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	4
P	3 8	1 3	1 4	1 24

…（11分）
数学期望Eξ=0×

3

8

+1×

1

3

+2×

1

4

+4×

1

24

=1…（13分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答．