Question

已知x=1是函数f(x)=mx³-3(m+1)x²+nx+1的一个极值点,其中m、n∈R,m＜0.

(1)求m与n的关系表达式;

(2)求f(x)的单调区间;

(3)当x∈［-1,1］时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.

Answer 1

(1)解：f′(x)=3mx²-6(m+1)x+n,

    因为x=1是f(x)的一个极值点,

    所以f′(1)=0,

    即3m-6(m+1)+n=0.所以n=3m+6.

(2)解：由(1)知,f′(x)=3mx²-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)［x-(1+)］.

    当m＜0时,有1＞1+,

    当x变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表:

x	(-∞,1+)	1+	(1+,1)	1	(1,+∞)
f′(x)	＜0	0	＞0	0	＜0
f(x)	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

    由上表知,当m＜0时,f(x)在(-∞,1+)上单调递减,在(1,+∞)上单调递减,在(1+,1)上单调递增.

(3)解法一：由已知,得f′(x)＞3m,

    即mx²-2(m+1)x+2＞0,

∵m＜0,∴x²-(m+1)x+＜0.

∴x²-2(1+)x+＜0,x∈［-1,1］.                      (*)

    设g(x)=x²-2(1+)x+,其函数图象的开口向上.

    由题意(*)式恒成立,

∴-＜m.

   又m＜0,∴-＜m＜0,

    即m的取值范围是-＜m＜0.

解法二：由已知,得f′(x)＞3m,

    即3m(x-1)［x-(1+)］＞3m.

∵m＜0,∴(x-1)［x-(1+)］＜1.                            (*)

①x=1时,(*)式化为0＜1恒成立,∴m＜0.

②x≠1时,∵x∈［-1,1］,∴-2≤x-1＜0.

(*)式化为＜(x-1)-.

    令t=x-1,则t∈［-2,0),记g(t)=t-,

    则g(t)在区间［-2,0)上是单调增函数.

∴g(t)_min=g(-2)=-2-=-.

    由(*)式恒成立,必有＜--＜m.

    又m＜0,∴-＜m＜0.

    综上①、②，知-＜m＜0.