Question

设函数f（x）满足f（-x）=-f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式

f(x)-f(-x)

x

≤0的解集为

[-1，0）∪（0，1]

．

Answer 1

分析：由f（-x）=-f（x），化简不等式

f(x)-f(-x)

x

≤0得

2f(x)

x

≤0．再分x＞0和x＜0时两种情况加以讨论，利用函数的单调性和f（1）=0，分别解关于x的不等式得到x的取值范围．最后综合可得原不等式的解集．

解答：解：∵函数f（x）满足f（-x）=-f（x）（x∈R），
∴f（x）-f（-x）=f（x）+f（x）=2f（x），
因此，不等式

f(x)-f(-x)

x

≤0等价于

2f(x)

x

≤0，
化简得

f(x)≥0 x＜0

或

f(x)≤0 x＞0

，
①当x＞0时，由于在（0，+∞）上f（x）为增函数且f（1）=0，
∴由不等式f（x）≤0=f（1），得0＜x≤1；
②当x＜0时，-x＞0，
不等式f（x）≥0化成-f（x）≤0，即f（-x）≤0=f（1），
解之得-x≤1，即-1≤x＜0．
综上所述，原不等式的解集为[-1，0）∪（0，1]．
故答案为：[-1，0）∪（0，1]

点评：本题给出函数的单调性和奇偶性，求解关于x的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识，属于中档题．