Question

【题目】设函数

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）如果不等式对于一切的恒成立，求的取值范围；

（3）证明：不等式对于一切的恒成立．

Answer 1

【答案】（1）(2)（3）见解析

【解析】分析：（1）先求一阶导函数，，用点斜式写出切线方程。

（2）分离变量，，构建函数，转化为求函数的最大值

（3）构建函数，证明的最小值大于0.

解：（1）当时，，则，故，所以曲线在点处的切线方程为：；

（2）因为，所以恒成立，等价于恒成立.

设，得，

当时，，所以　在上单调递减，

所以　时，.

因为 恒成立，所以的取值范围是；

（3）当时，，等价于.

设，，得.

由（2）可知，时，恒成立.

所以时，，有，所以.

所以在上单调递增，当时，.

因此当时，恒成立

分析：（1）利用导数求在某点切线方程利用，即可。

（2）已知不等式的恒成立，求解参数的取值范围，分离变量，转化为求函数的最值问题。

（3）证明不等式恒成立问题，构建函数，证明的最小值大于0.