Question

下列命题
①若两直线平行，则两直线斜率相等．
②动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）．则动点M的轨迹是圆．
③若椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率  e=

2

2

，则  b=c  (c为半焦距)．
④双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点到渐近线的距离为b．
⑤已知抛物线y²=2px上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且OA⊥OB（O为原点），则y₁y₂=-p²．
其中正确命题的序号是

②③④

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：对于①，当直线不存在斜率时，不正确；对于②，通过建立坐标系，求出动点的轨迹方程判断出正确；利用椭圆中三个参数的关系判断出③对；对于④，据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式判断出正确；对于⑤，利用向量垂直的充要条件判断出其错．

解答：解：对于①，当直线不存在斜率时，不正确；
对于②，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系，设M（x，y），A（-a，0），B（a，0），则有

y2+(x+a)2

y2+(x-a)2

=λ化简得（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+（2a+2aλ²）x+a²-a²λ²=0，所以动点M的轨迹是圆，正确
对于③，e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

，所以a²=2c²，所以椭圆中有b²=a²-c²=c²，所以b=c，所以③对；
对于④，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点坐标为（±c，0），渐近线的方程为：y=±

b

a

x，根据点到直线的距离公式得到距离=

bc

a2+b2

=b．所以④正确；
对于⑤，因为OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，又因为y²=2px，所以y12=2px1，y22=2px2，所以y₁y₂=-4p²．不正确
故答案为：②③④

点评：本题考查利用曲线的方程判断曲线的形状；考查椭圆中三个参数的关系；考查双曲线中渐近线的方程，属于一道综合题．