Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

13

，a+c=4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后，由sinA不为0，即可得到cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，配方后把b，a+c及cosB的值代入，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：（1）由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，得
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCcosB=0，
化简得：2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，
∵sinA≠0，∴cosB=-

1

2

，
又∵角B为三角形的内角，∴B=

2π

3

；
（2）将b=

13

，a+c=4，B=

2π

3

，
代入余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得
13=a²+（4-a）²-2a（4-a）cos

2π

3

，
∴a²-4a+3=0，
∴a=1或a=3．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．