Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n+2，a₁=-2
（1）证明数列{a_n}是等比数列
（2）数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+

1

3

an，求数列{b_n}的通项公式
（3）数列{c_n}满足c_n=log₂（5-3b_n），求数列{c_n•a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）S_n=2a_n+2，S_n-1=2a_n-1+2，（n≥2），两式相减并整理得a_n=2a_n-1，由此证明数列{a_n}是等比数列．
（2）由（1）得知a_n=-2•2^n-1=-2ⁿ，b_n+1-b_n=

1

3

an=-

1

3

•2ⁿ，用叠加法求数列{b_n}的通项公式．
（3）数列{c_n}满足c_n=log₂（5-3b_n）=n．c_n•a_n=-n•2ⁿ，利用错位相消法求和．

解答：解：（1）S_n=2a_n+2，S_n-1=2a_n-1+2，（n≥2），两式相减并整理得a_n=2a_n-1，（n≥2），
由a₁=-2≠0，所以数列{a_n}是等比数列
（2）由（1）得知，数列{a_n}公比为2，其通项公式为a_n=-2•2^n-1=-2ⁿ
所以b_n+1-b_n=

1

3

an=-

1

3

•2ⁿ，
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=-

1

3

•（2^n-1+2^n-2+…+2¹）+1
=-

1

3

•

2(1-2n-1)

1-2

+1
=-

1

3

•2n+

5

3

（3）c_n=log₂（5-3b_n）=n，c_n•a_n=-n•2ⁿ
∴T_n=-（1×2¹+2×2²+…n×2ⁿ）
∴2T_n=-（1×2²+2×2³+…n×2ⁿ⁺¹）
两式相减得出
-T_n=-（2+2²+2³+…+2ⁿ）+n•2ⁿ⁺¹
=-

2(1-2n)

1-2

+n•2ⁿ⁺¹
=2-（1-n）•2ⁿ⁺¹
T_n=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2

点评：本题考查数列性质的判定，通项公式求解，叠加法、错位相消法在数列中的应用．均属于数列中重要而又基本的知识和能力要求．