Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令cn=an+2n，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）令bn=3n•an（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得该等差数列的公差，从而可求其通项公式；
（2）由（1）可知，c_n=2n+2ⁿ，利用分组求和（分组后，一组为等差数列的求和，一组为等比数列的求和）即可；
（3）b_n=3ⁿ•a_n=2n•3ⁿ，利用错位相减法求和即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，
∴3a₂=12，
∴a₂=4，
∴公差d=a₂-a₁=4-2=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n；
（2）∵c_n=a_n+2ⁿ=2n+2ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+（2¹+2²+…+2ⁿ）
=

(2+2n)n

2

+

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹+n²+n-2．
（3）∵b_n=3ⁿ•a_n=2n•3ⁿ，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=2×3¹+4×3²+…+2n•3ⁿ，①
∴3S_n=2×3²+4×3³+…+2（n-1）•3ⁿ+2n•3ⁿ⁺¹，②
①-②得：
-2S_n=2×3¹+2×3²+…+2×3ⁿ-2n•3ⁿ⁺¹
=2×

31(1-3n)

1-3

-2n•3ⁿ⁺¹
=（1-2n）•3ⁿ⁺¹-3，
∴S_n=

2n-1

2

•3ⁿ⁺¹+

3

2

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式，考查分组求和与错位相减法求和，属于中档题．