Question

（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=

1

x

（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2

2

，则满足条件的实数a的所有值为

-1或

10

．

Answer 1

分析：设点P(x，

1

x

)(x＞0)，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．

解答：解：设点P(x，

1

x

)(x＞0)，则|PA|=

(x-a)2+( 1 x -a)2

=

x2+ 1 x2 -2a(x+ 1 x )+2a2

=

(x+ 1 x )2-2a(x+ 1 x )+2a2-2

，
令t=x+

1

x

，∵x＞0，∴t≥2，
令g（t）=t²-2at+2a²-2=（t-a）²+a²-2，
①当a≥2时，t=a时g（t）取得最小值g（a）=a²-2，∴

a2-2

=2

2

，解得a=

10

；
②当a＜2时，g（t）在区间[2，+∞）单调递增，∴t=2，g（t）取得最小值g（2）=2a²-4a+2，
∴

2a2-4a+2

=2

2

，解得a=-1．
综上可知：a=-1或

10

．
故答案为-1或

10

．

点评：本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．