Question

已知函数f（x）=sinxcosx+sin²x．
（1）求f（x）的值域和最小正周期及对称中心；
（2）由函数y=f（x）的图象经由向量

a

平移可得函数y=

2

2

sin2x的图象，求

a

．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）=sinxcosx+sin²x．为一个角的一个三角函数的形式，然后求f（x）的值域和最小正周期及对称中心；
（2）考查函数的表达式间的关系，由函数y=f（x）的图象经由向量

a

平移可得函数y=

2

2

sin2x的图象，直接求出

a

．

解答：解：（1）f(x)=sinx•cosx+sin2x=

1

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

(sin2x-cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，（3分）
因为-1≤sin(2x-

π

4

)≤1，所以

1- 2

2

≤

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

≤

1+ 2

2

，（2分）
即函数f（x）的值域为[

1- 2

2

，

1+ 2

2

].
函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，（1分）
令2x-

π

4

=kπ，k∈Z，得x=

π

8

+2kπ，
所以对称中心为(

π

8

+2kπ，

1

2

)k∈Z.（1分）

（2）需将函数y=f（x）左移

π

8

，再下移

1

2

个单位，
函数f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

的图象，可得函数y=

2

2

sin2x的图象，
所以

a

=(-

π

8

，-

1

2

)（6分）

点评：本题考查三角函数的最值，正弦函数的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查基本知识，就不好说的有关性质的熟练程度，决定三角函数题目解答的速度，和解题质量，平时需要牢记，记熟．