题目内容
已知a＞0，函数f(x)=ln(2-x)+ax.(1)设曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线为l，若l与圆(x+1)2+y2=1相切，求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)求函数f(x)在［0,1］ 的最小值.
解:(1)依题意，有x＜2,f′(x)=a+
,
过（1，f(1)）点的直线的斜率为a-1,所以过（1，f(1)）点的直线方程为y-a=(a-1)(x-1).
又已知圆圆心为（-1，0），半径为1，
依题意，
有
=1.解之，
得a=1.
(2)f′(x)=
=a［x-(2-
)］
,
当a＞0时，2-
＜2,
令f′(x)＞0，
解得x＜2-
;令f′(x)＜0,解得2-
＜x＜2.
所以(-∞,2-
)是f(x)的增区间；（2-
,2）是f(x)的减区间.
(3)当2-
≤0，即0＜a≤
时，f(x)在［0,1］上是减函数，
所以f(x)的最小值为f(1)=a.
当0＜2-
a＜1，即
＜a＜1时，f(x)在(0,2-
)上是增函数，在（2-
,1）上是减函数，
所以需比较f(0)=ln2和f(1)=a两个值的大小.
因为
＜
＜2＜e,所以
=ln
＜ln2＜lne=1.
所以，当
＜a＜ln2时，最小值为a;当ln2≤a＜1时，最小值为ln2.
当2-
≥1，即a≥1时，f(x)在［0,1］上是增函数，所以最小值为f(0)=ln2.
综上，当0＜a＜ln2时，f(x)的最小值为a，当a≥ln2时，f(x)的最小值为ln2.
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