Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R)的图象的一部分如图所示．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（I）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数的解析式．
（II）利用两角和差的正弦公式化简函数y=f（x）+f（x+2）的解析式为 2

2

cos

π

4

x，由此求得函数的最大值与最小值．

解答：（I）由图象，知A=2，

2π

ω

=8．∴ω=

π

4

，可得f(x)=2sin(

π

4

x+φ)． …（2分）
当x=1时，有

π

4

×1+φ=

π

2

，∴φ=

π

4

．   …（4分）
∴f(x)=2sin(

π

4

x+

π

4

)．         …（5分）
（II）y=2sin(

π

4

x+

π

4

)+2sin[

π

4

(x+2)+

π

4

]=2sin(

π

4

x+

π

4

)+2cos(

π

4

x+

π

4

) …（7分）
=2

2

sin(

π

4

x+

π

2

)=2

2

cos

π

4

x． …（10分）
∴ymax=2

2

，ymin=-2

2

．      …（12分）

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．