Question

给出如下两个命题：命题p：|a-1|＜6；命题q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，且A∩B=φ．求实数a的取值范围，使命题p，q中有且只有一个真命题．

Answer 1

分析：本题是以命题及其关系为载体，解出命题p对应的范围，考虑集合A=∅和集合 A≠∅两种情况分别求出a的范围，然后取并集可得a的范围，对于p，q中有且只有一个真命题要注意p真q假和p假q真两种情况．

解答：解：∵命题p：|a-1|＜6；
∴p：-5＜a＜7，
当△=（a+2）²-4=a（a+4）＜0即-4＜a＜0时，A=Ф，
此时A∩B=Ф
又当△=a（a+4）≥0即a≤-4或a≥0时A∩B=Ф ?

a≤-4或a≥0     x1+x2=-(a+2)＜0     x1x2=1＞0

解得：a≥0
∴q：a＞-4
（1）当 p真q假时，

-5＜a＜7   a≤-4

∴-5＜a≤-4…（9分）
（2）当 p假q真时，

a≤-5或a≥7   a＞-4

∴a≥7
∴当a∈（-5，-4]∪[7，+∞）时，p，q中有且只有一个为真命题

点评：本题综合性较强，是易错题，有两点值得引起注意，其一满足A∩B=Ф要考虑A=φ，A≠φ两种情况；其二对于“p，q中有且只有一个真命题”也要注意p真q假和p假q真两种情况．