Question

已知函数f(x)=Inx-

a

x

(a∈R，a≠0)．
（1）当a=-1时，讨论f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在区间[1，e]上的最小值是

3

2

，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；
（2）这是一道求函数的最值的逆向思维问题．本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题一目了然，从而确定出a的值．

解答：解：（1）当a=-1时，f(x)=lnx+

1

x

，
∴f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

∵x＞0，
∴f（x）在区间（0，1）上递减，在区间（1，+∞）上递增．（6分）
（2）由已知f′(x)=

x+a

x2

，①当a≥-1时，而x≥1，
∴x+a≥a+1≥0，
∴f（x）在[1，e]上递增，于是f(x)min=f(1)=-a=

3

2

，有a=-

3

2

不成立（8分）
②当a≤-e时，而x≤e，
∴x+a≤e+a≤0，
∴f（x）在[1，e]上递减，
于是f(x)min=f(e)=1-

a

e

=

3

2

，有a=-

e

2

不成立．（10分）
③当-e＜a＜-1时，在区间[1，-a]上，a+1≤x+a≤0，则f'（x）≤0，
∴f（x）递减，
在区间（-a，e]上，0＜x+a≤a+e，则f'（x）＞0，
∴f（x）递增，
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=

3

2

，
∴a=-

e

（12分）
综上所述得：实数a=-

e

点评：本题考查了利用导数就函数的单调区间，以及求函数的最值的逆向思维问题．