Question

已知命题p：?x∈R，使得e^x≤2x+a为假命题，则实数a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：求出“?x∈R，使得e^x≤2x+a”是假命题时，实数a的取值范围，通过构造函数，利用函数的导数，求出函数的最小值，然后求解实数a的取值范围．
解答：解：若命题“?x∈R，使得e^x≤2x+a”成立
则a大于等于函数y=e^x-2x的最小值．
函数y=e^x-2x的导数为y′=e^x-2．
令y′=0，解得x=ln2，此时函数y=e^x-2x有最小值，y_min=2-2ln2．
则命题“?x∈R，使得e^x≤2x+a”是假命题时
数a的取值范围是（-∞，2-ln2）
故答案为：（-∞，2-ln2）．
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，利用函数的对数求出函数的最小值，是解答本题的关键．