Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x
（1）求f（-1）的值；
（2）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（3）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的定义知，计算f（-1）=-f（1）；
（2）由x＜0得-x＞0，计算f（-x），再由奇函数f（-x）=-f（x），得f（x）即x＜0时f（x）；
（3）函数f（x）的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=1，讨论区间[t，t+2]在对称轴的右侧，还是包含对称轴？从而求得f（x）_min．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（-1）=-f（1）=-（1²-2×1）=1；
（2）当x＜0时，有-x＞0，∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，又∵f（-x）=-f（x），∴f（x）=-x²-2x，即x＜0，f（x）=-x²-2x；
（3）∵x＞0时，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
∴（i）当t≥1时，x∈[t，t+2]上是增函数，∴f（x）_min=f（t）=t²-2t；
  （ii）当0＜t＜1时，f（x）在[t，1]上是减函数，在[1，t+2]上是增函数，∴f（x）_min=f（1）=1²-2×1=-1；
综上所知，当x∈[t，t+2]（t＞0）时，f（x）_min=

t2-2t   (t≥1) -1           (0＜t＜1)

．

点评：本题考查了函数的奇偶性与二次函数在闭区间上的最值问题，解题时通常根据图象，判定区间与对称轴的位置，做出正确解答．