Question

已知函数f(x)=ax³+sinθx²-2x+c过点(1，)，且在(-2，1)内单调递减，在[1，+∞)上单调递增．

(1)证明：sinθ=1，并求f(x)的解析式；

(2)若对于任意的x₁，x₂∈[m，m+3](m≥0)，不等式|f(x₁)-f(x₂)|≤恒成立，这样的m是否存在?若存在，请求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

(3)已知数列{a_n}中，a₁∈(0，1)，a_n+1=f(a_n)，求证：a_n+1＞81na_n(n∈N^*)．

Answer 1

答案：(1)∵f′(x)=3ax²+sinθx-2

由题设可知：，即

∴sinθ≥1

∴sinθ=1．

从而a=，∴f(x)=x³+x²-2x+c，

而又由f(1)=得，c=

∴f(x)=x³+x²-2x+即为所求．

(2)f′(x)=x²+x-2=(x+2)(x-1)

易知f(x)在(-∞，-2)及(1，+∞)上均为增函数，在

(-2，1)上为减函数．

①当m＞1时，f(x)在[m，m+3]上递增．故f(x)_max=f(m+3)，f(x)_min=f(m)

由f(m+3)-f(m)=(m+3)³+(m+3)²-2(m+3)m²m²+2m=3m²+12m+≤

解得-5≤m≤1．这与条件矛盾，故舍．

②当0≤m≤1时，f(x)在[m，1]上递减，在[1，m+3]上递增．

∴f(x)_min=f(1)，f(x)_max={f(m)，f(m+3)}_max

又f(m+3)-f(m)=3m²+12m+=3(m+2)²＞0(0≤m≤1)，∴f(x)_max=f(m+3)

∴|f(x₁)-f(x₂)|≤f(x)_max-f(x)_min=f(m+3)-f(1)≤f(4)-f(1)=恒成立

故当0≤m≤1时，原式恒成立．

综上，存在m∈[0，1]合乎题意．

(3)∵a₁∈(0，1]，∴a₂∈[)，故a₂＞2

假设n=k(k≥2，k∈N^*)时，a_k＞2．

则a_k+1=f(a_k)＞f(2)=8＞2

故对于一切n(n≥2，n∈N^*)均有an＞2成立．

令g(x)=x³+x²-2x+-8lnx

得g′(x)=x²+x-2(x²+3x+4)

当x∈(0，2)时，g′(x)＜0；当x∈(2，+∞)时，g′(x)＞0，

∴g(x)在x∈[2，+∞)时为增函数．

而g(2)=8-81n2＞0，即当x∈[2，+∞)时，g(x)≥g(2)＞0恒成立．

∴g(a_n)＞0(n≥2)也恒成立．

即a_n+1＞81na_n(n≥2)恒成立．

而当n=1时，a₂=8，而8lna₁≤0，

∴a₂＞8lna₁显然成立．

综上，对一切n∈N^*均有a_n+1＞8lna_n成立．