Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+1．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式和前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意只要证明

bn

bn-1

为一常数即可，已知S_n+1=4a_n+1，推出b₁的值，然后继续递推相减，得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），从而求出b_n与b_n-1的关系；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）{b_n}是等比数列，可得b_n}的通项公式，从而证得数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列，
最后利用错位相减法，求出数列{a_n}的通项公式和前n项和．

解答：解：（Ⅰ）由a₁=1，及S_n+1=4a_n+1，得
a₁+a₂=4a₁+1，a₂=3a₁+1=4，
∴b₁=a₂-2a₁=2，
由S_n+1=4a_n+1…①
则当n≥2时，有S_n=4a_n-1+1…②
②-①得a_n+1=4a_n-4a_n-1，∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
又∵b_n=a_n+1-2a_n∴b_n=2b_n-1
∴{b_n}是首项b₁=2，公比等于2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=2ⁿ，∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，∴数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列，
∴

an

2n

=

1

2

+（n-1）

1

2

=

n

2

，a_n=n•2^n-1，
设S_n=1+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
∴2S_n=2^1₊2•2²+3•2³+…（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴两式相减得，-S_n=1（ 2^1₊2²+2³+…2 ^n-1）-n•2ⁿ
=1+

2•(1-2n-1)

1-2

-n•2n=-1+(1-n)•2n
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1．

点评：此题主要考查了等比数列的性质及其前n项和，运用了错位相减法求数列{a_n}的前n项和，这个方法是高考中常用的方法，同学们要熟练掌握它．