题目内容
椭圆
+
=1上存在关于直线y=x+m对称的两点．求实数m的取值范围．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
分析：根据对称性可知线段AB被直线y=x+m垂直平分，且AB的中点M（x0，y0）在直线y=x+m上，故可设直线AB的方程为y=-x+b，联立方程
整理可得7x2-8bx+4b2-12=0，结合方程的根与系数关系可求中点M，由△=64b2-28（4b2-12）＞0可求b的范围，由中点M在直线yx+m可得b，m的关系，从而可求m的范围
|
解答：解：设椭圆
+
=1上存在关于直线y=x+m对称的两点为A（x1，y1），B（x2，y2）
根据对称性可知线段AB被直线y=x+m垂直平分，且AB的中点M（x0，y0）在直线y=x+m上，且KAB=-1
故可设直线AB的方程为y=-x+b
联立方程
整理可得7x2-8bx+4b2-12=0
∴x1+x2=
，y1+y2=2b-（x1+x2）=
由△=64b2-28（4b2-12）＞0可得-
＜b＜
∴x0=
=
，y0=
=
∵AB的中点M（
，
）在直线y=x+m上
∴
=
+m，m=-
∴-
＜m＜
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
根据对称性可知线段AB被直线y=x+m垂直平分，且AB的中点M（x0，y0）在直线y=x+m上，且KAB=-1
故可设直线AB的方程为y=-x+b
联立方程
|
∴x1+x2=
| 8b |
| 7 |
| 6b |
| 7 |
由△=64b2-28（4b2-12）＞0可得-
| 7 |
| 7 |
∴x0=
| x1+x2 |
| 2 |
| 4b |
| 7 |
| y1+y2 |
| 2 |
| 3b |
| 7 |
∵AB的中点M（
| 4b |
| 7 |
| 3b |
| 7 |
∴
| 3b |
| 7 |
| 4b |
| 7 |
| b |
| 7 |
∴-
| ||
| 7 |
| ||
| 7 |
点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是灵活应用已知中的对称性设出直线方程，且由中点在y=x+m上建立m，b之间的关系，还要注意方程的根与系数的关系的应用．
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