题目内容
已知数列{an}是等差数列,公差d≠0，an≠0(n∈N*),akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*),(1)求证:当k取不同正整数时,方程都有实数根;
(2)若方程不同的根依次为x1,x2,x3,…xn,…,求证:
,
,
,…,
,…是等差数列.
证明：(1)∵{an}是等差数列，公差d≠0,an≠0(n∈N*),
∴2ak+1=ak+ak+2.
代入已知方程得akx2+(ak+ak+2)x+ak+2=0,
即(x+1)(akx+ak+2)=0.
方程有解x=-1,故不论k取何正整数时，方程都有公共根-1.
(2)当k取不同正整数时，xk=-,
∴xk+1=-+1=-=.
故
=-
.
则
-
=(-
)-(-
)=-
=-
.
∴数列{
}是等差数列.
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