Question

若方程x4+ax-9=0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi，

9

xi

)(i=1，2，…，k)均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是

a＞24或a＜-24

．

Answer 1

分析：原方程等价于x³+a=

9

x

，原方程的实根是曲线y=x³+a与曲线y=

9

x

的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．

解答：解：解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x³+a=

9

x

，
原方程的实根是曲线y=x³+a与曲线y=

9

x

，的交点的横坐标，
而曲线y=x³+a是由曲线y=x³向上或向下平移|a|个单位而得到的，
若交点(xi，

9

xi

)（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，
因直线y=x与y=

9

x

交点为：（-3，-3），（3，3），

所以结合图象可得：

a＞0 x3+a＞-3 x＜-3

或

a＜0 x3+a＜3 x＞3

，也即a＞（-x³-3）_max，（x＜-3）或a＜（3-x³）_min，（x＞3）
解得，a＞24或a＜-24，
故答案为：a＞24或a＜-24；

点评：本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质