题目内容
阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β 有α=
，β=
代入③得 sinA+subB=2sincos．
（Ⅰ） 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sinsin；
（Ⅱ）求值：sin220°+cos250°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）
解 （Ⅰ）证明：因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，------①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，------②…（1分）
①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ．------③…（2分）
令α+β=A，α-β=B，有 α=，β=，
代入③得 cosA-cosB=-2sinsin．…（5分）
（Ⅱ）sin220°+cos250°+sin20°cos50°=1+
（cos100°-cos40°）+（sin70°-sin30°）…（8分）
=1-sin70°sin30°+sin70°-sin30°=
．…（12分）
分析：（Ⅰ）把两角和的余项公式减去两角差的余项公式，再把α+β=A，α-β=B代入化简可得结论．
（Ⅱ）利用半角公式以及积化和差公式化简要求的式子，即可求得结果．
点评：本题主要考查三角函数的积化和差与和差化积公式的证明，半角公式的应用，属于中档题．
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，------②…（1分）
①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ．------③…（2分）
令α+β=A，α-β=B，有 α=
，β=，代入③得 cosA-cosB=-2sin
sin．…（5分）（Ⅱ）sin220°+cos250°+sin20°cos50°=1+
（cos100°-cos40°）+（sin70°-sin30°）…（8分）=1-sin70°sin30°+
sin70°-sin30°=．…（12分）分析：（Ⅰ）把两角和的余项公式减去两角差的余项公式，再把α+β=A，α-β=B代入化简可得结论．
（Ⅱ）利用半角公式以及积化和差公式化简要求的式子，即可求得结果．
点评：本题主要考查三角函数的积化和差与和差化积公式的证明，半角公式的应用，属于中档题．
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----------①
------②
------③
有
．
的值。
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