Question

如图,已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱长为2,底面△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,AC=2,D是AA₁的中点.

(1)求异面直线AB和C₁D所成的角;

(2)设E是AB上一点,试确定E点的位置,使得A₁E⊥C₁D;

(3)在(2)的条件下,求点D到平面B₁C₁E的距离.

Answer 1

解:(1)如图,取CC₁的中点F,连结AF,则AF∥C₁D,故∠BAF(若其补角)为异面直线AB与C₁D所成的角.

在△ABF中,AB=,AF=BF=,则cos∠BAF=.

∴∠BAF=arccos.

(2)过C₁作C₁G⊥A₁B₁,垂足为G,则G为A₁B₁的中点,且C₁G⊥平面AA₁B₁B,故GD为C₁D在平面AA₁B₁B上的射影.

要使A₁E⊥C₁D,只需A₁E⊥DG.

在矩形AA₁B₁B中,AB=,AA₁=2,D为AA₁的中点,G为A₁B₁的中点,计算知E为AB的中点.

(3)设点D到平面B₁C₁E的距离为h.

易知点C₁到平面B₁ED的距离为,S_△B1ED=B₁E·DE=,则V_C1—B1ED=1.

在△B₁C₁E中,B₁C₁=2,B₁E=C₁E=,则S_△B1C1E=.

由V_D—B1C1E=V_C1—B1ED,得··h=1,解得h=.