题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且4sin² $数学公式$ -cos2C= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．

解：∵A，B，C为三角形的内角∴A+B+C=π
∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∵0＜C＜π∴ $\text{[math]}$
（II）由（I）得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时即 $\text{[math]}$ sinA+sinB取得最大值 $\text{[math]}$
分析：由三角形的内角和公式及二倍角公式可得，4sin² $\text{[math]}$ -cos2C= $\text{[math]}$ ，从而可得 $\text{[math]}$ 解方程可求 cosC，进而求C；
（II）由（I）得 $\text{[math]}$ 代入可得， $\text{[math]}$ ，化简可得其结果为 $\text{[math]}$ ，利用正弦函数的性质可求出答案．
点评：本题主要考查了利用二倍角公式对三角函数式进行化简、求值，还考查了辅助角公式的应用及正弦函数的性质的应用，属于基础知识的简单综合运用，属于中档试题．

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