Question

已知x＞0，y＞0，且x+y=1，
（1）求

8

x

+

2

y

的最小值；
（2）求

2x+1

+

2y+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）

8

x

+

2

y

=（

8

x

+

2

y

）（x+y），展开用基本不等式即可求出最小值；
（2）可用结论

a

+

b

≤

2(a+b)

求得其最大值．

解答：解：（1）

8

x

+

2

y

=(

8

x

+

2

y

)(x+y)=10+

8y

x

+

2x

y

≥10+2

8y x • 2x y

=18
当且仅当

8y

x

=

2x

y

时，即x=

2

3

，y=

1

3

时有最小值18
（2）

2x+1

+

2y+1

≤

2(2x+1+2y+1)

=2

2

，（

a

+

b

≤

2(a+b)

）
当且仅当2x+1=2y+1即x=y=

1

2

时取最大值2

2

．

点评：本题考查了运用基本不等式求最值问题，要注意使用条件：一正、二定、三相等，缺一不可．本题第（1）问巧妙运用“1”进行代换，技巧性较强，注意体会．