Question

已知函数f（x）=log_a

1-x

b+x

（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（-1，a）时，函数f（x）的值域是（-∞，1），则实数a+b的值为

 

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b，然后根据分式函数和对数函数的单调性建立条件关系即可求出a．

解答：解：∵函数f（x）=log_a

1-x

b+x

（0＜a＜1）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
∴log_a

1-x

b+x

+log_a

1+x

b-x

=log_a

1-x

b+x

•

1+x

b-x

=0，
即

1-x

b+x

•

1+x

b-x

=1，
∴1-x²=b²-x²，
即b²=1，解得b=±1．
当b=-1时，函数f（x）=log_a

1-x

b+x

=f（x）=log_a

1-x

-1+x

=log_a（-1）无意义，舍去．
当b=1时，函数f（x）=log_a

1-x

b+x

=log_a

1-x

1+x

为奇函数，满足条件．
∵

1-x

1+x

=

-(1+x)+2

1+x

=-1+

2

1+x

，在（-1，+∞）上单调递减．
又0＜a＜1，
∴函数f（x）=log_a

1-x

1+x

在x∈（-1，a）上单调递增，
∵当x∈（-1，a）时，函数f（x）的值域是（-∞，1），
∴f（a）=1，
即f（a）=log_a

1-a

1+a

=1，
∴

1-a

1+a

=a，
即1-a=a+a²，
∴a²+2a-1=0，
解得a=

-2± 4+4

2

=

-2±2 2

2

=-1±

2

，
∵0＜a＜1，
∴a=

2

-1，
∴a+b=

2

-1+1=

2

，
故答案为：

2

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的性质的应用，以及复合函数的单调性的应用，考查函数性质的综合应用．