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已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2．
（1）如果x1＜2＜x2＜4，设二次函数f（x）的对称轴为x=x0，求证：x0＞-1；
（2）如果|x1|＜2，|x2-x1|=2，求b的取值范围．

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（1）设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由条件x1＜2＜x2＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．即
4a+2b-1＜0
16a+4b-3＞0

由可行域可得
b
a
＜2，∴x0=-
b
2a
＞-1．
（2）由g（x）=ax2+（b-1）x+1=0，知x1x2=
1
a
＞0，故x1与x2同号．
①若0＜x1＜2，则x2-x1=2（负根舍去），
∴x2=x1+2＞2．
∴
g(2)＜0
g(4)＞0
，即
4a+2b-1＜0
16a+4b-3＞0
?b＜
1
4
；
②若-2＜x1＜0，则x2=-2+x1＜-2（正根舍去），
g(-2)＜0
g(-4)＞0
，即
4a-2b+3＜0
16a-4b+5＞0
?b＞
7
4
．
综上，b的取值范围为b＜
1
4
或b＞
7
4
．
练习册系列答案
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f(x)x-1
．
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