Question

已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则集合M子集的个数是________；集合M所有子集的元素的和是________．

Answer 1

2¹⁰    55×2⁹
分析：由10个元素组成的集合M的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，其中包括空集．欲求集合M的所有子集的元素和的和，先计算出包含元素1的集合：剩下的9个元素组成的集合含有2⁹个子集，包括空集，同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出现了2⁹次，从而得出集合M的所有非空子集元素和的和．
解答：由10个元素组成的集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，的子集有：
∅，{1}，{2}，{3}，{4}…{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，…共2¹⁰个．
先计算出包含元素1的集合：剩下的9个元素组成的集合含有2⁹个子集，包括空集
而以上2⁹个子集和元素1组合（含空集），又构成了集合M的所有非空子集中含元素1 的非空子集
即：在集合M的所有非空子集中，元素1出现了2⁹次
同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出现了2⁹次
故集合M的所有非空子集元素和的和为：
（1+2+3+4+…+10）×2⁹=55×2⁹．
故答案为：2¹⁰；55×2⁹．
点评：本题考查集合的子集个数问题，子集与真子集、数列求和等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2ⁿ个，属于基础题．