Question

（2012•洛阳模拟）设函数f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2012π），则函数f（x）的各极小值之和为（　　）

• A．-

  e2π(1-e2012π)

  1-e2π

• B．-

  e2π(1-e1006π)

  1-eπ

• C．-

  e2π(1-e1006π)

  1-e2π

• D．-

  e2π(1-2010π)

  1-e2π

Answer 1

分析：先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极小值f（2kπ+2π）=e^2kπ+2π，再利用数列的求和方法来求函数f（x）的各极大值之和即可．

解答：解：∵函数f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′
=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，f′（x）＞0，
∴x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时原函数递减，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，函数f（x）=e^x（sinx-cosx）递增，
故当x=2kπ+2π时，f（x）取极小值，
其极小值为f（2kπ+2π）=e^2kπ+2π[sin（2kπ+2π）-cos（2kπ+2π）]
=e^2kπ+2π×（0-1）
=-e^2kπ+2π，
又0≤x≤2012π，
∴函数f（x）的各极小值之和S=-e^2π-e^4π-e^6π-…-e^2010π
=

-e2π(1-(e2π)1005)

1-e2π

=-

e2π(1-2010π)

1-e2π

．
故选D．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和．利用导数求得当x=2kπ+2π时，f（x）取极小值是解题的关键，易错点为在x=0与x=2012π时取不到极小值，利用导数研究函数的单调性与最值是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握，属于难题．