Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是D₁C、AB的中点．
（I）求证：EF∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角D-EF-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取DD₁的中点G，连接GA，GE，推导出四边形AFEG为平行四边形，由此能够证明EF∥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面DEF和平面AEF的法向量，利用向量法能够求出二面角D-EF-A的余弦值．
解答：（I）证明：如图，取DD₁的中点G，连接GA，GE，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁C、AB的中点，
∴GE∥DC∥AB，GE=，
∴GE∥AF，GE=AF，四边形AFEG为平行四边形，
∴EF∥AG，AG?平面ADD₁A₁，EF?平面ADD₁A₁，
∴EF∥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）解：如图，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设棱长为2，则D（0，0，0），E（0，1，1），F（2，1，0），A（2，0，0），
∴，，，，
设平面DEF的法向量为，则，，
∴，解得，
设平面AEF的法向量，则，，
∴，解得，
设二面角D-EF-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=||=．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法和等价转化思想的合理运用．