Question

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T₁，T₂，T₃，T₄，电流能通过T₁，T₂，T₃的概率都是p，电流能通过T₄的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T₁，T₂，T₃中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（1）求p；
（2）求电流能在M与N之间通过的概率；
（3）ξ表示T₁，T₂，T₃，T₄中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．

Answer 1

解：记A_i表示事件：电流能通过T_i，i=1、2、3、4，A表示事件：T₁，T₂，T₃中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M、N之间通过．
（I）=，（A₁，A₂，A₃相互独立）
∴P（）=P（）=P（）P（）P（）=（1﹣P）³，
又∵P（）=1﹣P（A）=1﹣0.999=0.001
∴（1﹣p）³=0.001，
解之得p=0.9
（II）∵B=A₄+A₁A₃+A₂A₃，
∴P（B）=P（A₄）+P（A₁A₃）+P（A₂A₃）
                =P（A₄）+P（）P（A₁）P（A₃）+P（）P（）P（A₂）P（A₃）
                =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891
即电流能在M与N之间通过的概率为0.991
（III）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互独立，
用ξ表示T₁，T₂，T₃，T₄中能通过电流的元件个数，则ξ服从二项分布，n=4且p=0.9
即ξ～B（4，0.9），
由二项分布的数学期望公式，
得Eξ=4×0.9=3.6
即ξ的期望为3.6