Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，Sn=

1

2

an+1-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅲ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=2，Sn=

1

2

an+1-1（n∈N^*），依次由n=1和n=2，用递推思想能求出a₂，a₃．
（Ⅱ）由a_n=S_n-S_n-1，利用已知条件能推导出数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项a_n．
（ III）由an=2•3n-1(n∈N*)，知nan=2n•3n-1，由此利用错位相减法能求出数列{na_n}的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=2，Sn=

1

2

an+1-1（n∈N^*），
∴当n=1时，S1=

1

2

a2-1=a1=2，
解得a₂=6．
当n=2时，S2=

1

2

a3-1=2+6=8，
解得a₃=18．
（Ⅱ）∵a₁=2，Sn=

1

2

an+1-1（n∈N^*），
∴当n≥2时，Sn=

1

2

an+1-1，Sn-1=

1

2

an-1，
∴an=Sn-Sn-1=

1

2

an+1-

1

2

an，
即a_n+1=3a_n．
对于a₂=3a₁也满足上式，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an=2•3n-1(n∈N*)．
（ III）∵an=2•3n-1(n∈N*)，
∴nan=2n•3n-1，
∴Tn=2•1+4•3+6•32+8•33+…+2n•3n-1，
3Tn=2•3+4•32+6•33+8•34+…+2n•3n，
相减得，-2Tn=2(1+3+32+33+…+3n-1)-2n•3n
=2•

1-3n

1-3

-2n•3n
=3ⁿ-1-2n•3ⁿ，
∴Tn=

(2n-1)•3n+1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．