Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=

6

，M是CC₁的中点，则异面直线AB₁与A₁M所成的角是（　　）

A．60°?

B．45°?

C．30°?

D．90°?

Answer 1

分析：连接AC₁，利用三角函数计算结合题中数据证出∠AC₁A₁=∠A₁MC₁，从而矩形AA₁C₁C中A₁M⊥AC₁．再利用线面垂直的判定与性质，证出A₁M⊥平面AB₁C₁，从而可得AB₁⊥A₁M，由此即可得到异面直线AB₁与A₁M所成的角．

解答：解：连接AC₁
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=

6

，
∴A₁C₁=

3

BC=

3

，
Rt△A₁C₁M中，tan∠A₁MC₁=

A1C1

MC1

=

3

6 2

=

2

；
Rt△AA₁C₁中，tan∠AC₁A₁=

AA1

A1C1

=

6

3

=

2

∴tan∠MA₁C₁=tan∠AC₁A₁ 即∠AC₁A₁=∠A₁MC₁     
可得矩形AA₁C₁C中，A₁M⊥AC₁
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥CC₁且AC₁∩CC₁=C₁
∴B₁C₁⊥平面AA₁C₁，
∵A₁M?面AA₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁M，
又AC₁∩B₁C₁=C₁，∴A₁M⊥平面AB₁C₁
结合AB₁?平面AB₁C₁，得到AB₁⊥A₁M，
即异面直线AB₁与A₁M所成的角是90°
故选：D

点评：本题在直三棱柱中求异面直线所成角的大小，着重考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，线线垂直与线面垂直的相互转化等知识，属于中档题．