Question

已知向量满足，且，令，
（1）求（用k表示）；
（2）当k＞0时，对任意的t∈[-1，1]恒成立，求实数x取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用条件把已知的等式两边平方展开整理易得函数f（k）的解析式．
（Ⅱ）由基本不等式求的函数f（k）的最小值等于，问题等价于 在[-1，1]上恒成立，故即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立，而g（t）在[-1，1]上为单调函数或常函数，所以，由此求得实数x的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题设得，对，
两边平方得． …（2分）
展开整理易得．…（4分）
（Ⅱ）∵，当且仅当k=1时取得等号．…（6分）
欲使对任意的t∈[-1，1]恒成立，等价于…（7分）
即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立．
而g（t）在[-1，1]上为单调函数或常函数，
所以，…（11分） 
解得，…（13分）
故实数x的取值范围为． …（14分）
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，以及函数的恒成立问题，求出函数f（k）的解析式，是解题的突破口，属于中档题．