Question

3．已知数列{a_n}a₁=t（t为常数，t≠0且t≠1），a₂=t²，当n∈N*，n≥2时，a_n+1=（t+1）a_n-ta_n-1．
（1）求证{a_n-1-a_n}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若t=2若?n∈N^*，A＜$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$＜B，试求实数A、B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系结合等比数列的定义进行证明{a_n-1-a_n}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据数列和不等式之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）a_n+1=（t+1）a_n-ta_n-1⇒t（a_n-a_n-1）⇒$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=t
故{a_n+1-a_n}为等比数列，公比为t，首项a₂-a₁=t²-t
故a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1=（t-1）tⁿ．
则有a₂-a₁=（t-1）t，a₃-a₂=（t-1）t²，…，a_n-a_n-1=（t-1）t^n-1
累加得到a_n-a₁=（t-1）（t+t²+…+t^n-1）=（t-1）$\frac{t（1-{t}^{n-1}）}{1-t}$=tⁿ-t，
故a_n=tⁿ-------（6分）
（2）若t=2则$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，故$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-------（9分）
而1-$\frac{1}{{2}^{n}}$随n的增大而增大，$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1，
由已知应有A$＜\frac{1}{2}$，B≥1，即A∈（-∞，$\frac{1}{2}$），B∈[1，+∞]-------（13分）

点评 本题主要考查数列与不等式的综合，根据数列的递推关系，结合等比数列的定义是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．