Question

已知函数f(x)＝x²－8lnx，g(x)＝－x²＋14x.

(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围；

(3)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，试求实数m的值．

Answer 1

(1)因为f′(x)＝2x－，所以切线的斜率k＝f′(1)＝－6.

又f(1)＝1，故所求的切线方程为y－1＝－6(x－1)．即y＝－6x＋7.

(2)因为f′(x)＝，

又x>0，所以当x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0.

即f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．

又g(x)＝－(x－7)²＋49，所以g(x)在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减．

欲使函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，则解得2≤a≤6.

(3)原方程等价于2x²－8lnx－14x＝m，

令h(x)＝2x²－8lnx－14x，则原方程即为h(x)＝m.

因为当x>0时原方程有唯一解，所以函数y＝h(x)与y＝m的图像在y轴右侧有唯一的交点．

又h′(x)＝，且x>0，

所以当x>4时，h′(x)>0；当0<x<4时，h′(x)<0.

即h(x)在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h(x)在x＝4处取得最小值，从而当x>0时原方程有唯一解的充要条件是m＝h(4)＝－16ln2－24.