题目内容
已知函数f(x)=
x3+x2-3x+m的图象恰好与x轴只有一个交点，则m的取值范围是
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m＜-9或m＞
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m＜-9或m＞
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分析：先求函数的导数f'（x），利用导数求出函数的极大值与极小值，结合图象列出方程．可求m的取值范围．
解答：解：函数的导数为f'（x）=x2+2x-3，由f'（x）=x2+2x-3=0得，x=1或x=-3．
当x＞1或x＜-3时，f'（x）＞0．函数递增．
当-3＜x＜1时，f'（x）＜0，函数递减，
所以当x=-3时，函数取得极大值f（-3）=9+m．当x=1时，函数取得极小值f（1）=m-
．
要使函数f(x)=
x3+x2-3x+m的图象恰好与x轴只有一个交点，则极大值f（-3）=9+m＜0或极小值f（1）=m-
＞0，
即m＜-9或m＞
．
故答案为：m＜-9或m＞
．
当x＞1或x＜-3时，f'（x）＞0．函数递增．
当-3＜x＜1时，f'（x）＜0，函数递减，
所以当x=-3时，函数取得极大值f（-3）=9+m．当x=1时，函数取得极小值f（1）=m-
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要使函数f(x)=
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即m＜-9或m＞
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故答案为：m＜-9或m＞
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点评：本题考查函数图象的交点问题．对应三次函数的图象要通过导数求出函数的极大值和极小值，利用极值和x轴的大小关系，确定条件．数形结合是解决这类问题的关键．
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