Question

【题目】已知以点为圆心的圆C被直线截得的弦长为．

（1）求圆C的标准方程：

（2）求过与圆C相切的直线方程：

（3）若Q是直线上的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点．试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标：若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）直线RS恒过定点

【解析】

（1）由弦长可得,进而求解即可；

（2）分别讨论直线的斜率存在与不存在的情况,再利用圆心到直线距离等于半径求解即可；

（3）由QR,QS分别切圆C于R,S两点,可知,在以为直径的圆上,设为,则可得到以为直径的圆的方程,与圆联立可得,由求解即可

（1）由题,设点到直线的距离为,

则,

则弦长,解得,

所以圆的标准方程为:

（2）当切线斜率不存在时,直线方程为,圆心到直线距离为2,故此时相切；

当切线斜率存在时,设切线方程为,即,

则,解得,

则直线方程为,即,

综上,切线方程为或

（3）直线RS恒过定点,

由题,,则,在以为直径的圆上,

设为,

则以为直径的圆的方程为:,

整理可得,

与圆:联立可得:,

即,

令,解得,

故无论取何值时,直线恒过定点