Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=3-2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的单调区间；
（3）解不等式f（-x）≥f（x）．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的对称性，先求出x＜0，x=0的解析式，即可得到结论；
（2）根据分段函数的单调性，可得f（x）的单调区间；
（3）f（-x）≥f（x）等价于f（x）≤0，结合分段函数，可得不等式的解集．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0
∵当x＞0时，f（x）=3-2x
∴f（-x）=3+2x
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-3-2x
∵x=0时，f（x）=0
f（x）=

3-2x，x＞0 0，x=0 -3-2x，x＜0

；
（2）x＞0时，f（x）=3-2x，∴f（x）单调减，
由奇函数性质，得在x＜0时，f（x）也单调减
∴函数的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）；
（3）f（-x）≥f（x）等价于f（x）≤0，
∵f（x）=

3-2x，x＞0 0，x=0 -3-2x，x＜0

∴

3-2x≤0 x＞0

或x=0或

-3-2x≤0 x＜0

∴-

3

2

≤x≤0或x≥

3

2

．

点评：本题考查函数解析式的求解，考查函数单调性，考查解不等式，属于中档题．