Question

已知函数f（x）=2^x+a．
（1）对于任意的实数x₁，x₂，试比较

f(x1-1)+f(x2-1)

2

与f(

x1+x2

2

-1)的大小；
（2）已知P=[1，4]，关于x的不等式f（ax²-4x）＞4+a的解集为M，且P∩M≠?，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）采用作差法来比较即可．
（2）先把f（ax²-4x）＞4+a转化为a＞

2

x2

+

4

x

．再求g（x）=

2

x2

+

4

x

（x∈P）的最大值即可．

解答：解：（1）∵

f(x1-1)+f(x2-1)

2

-f(

x1+x2

2

-1)
=

(2x1-1+a)+(2x2-1+a)

2

-(2

x1+x2

2

-1+a)
=

2x1-1+2x2-1

2

-2

x1+x2

2

-1 ①
∵

2x1-1+2x2-1

2

＞

2x1-1×2x2-1

=2

x1+x2

2

-1
∴①＞0
∴

f(x1-1)+f(x2-1)

2

＞f（

x1+x2

2

-1）．
（2）f(ax2-4x)＞4+a?2ax2-4x+a＞4+a?ax2-4x＞2?a＞

2

x2

+

4

x

令g（x）=

2

x2

+

4

x

（x∈P），要使P∩Q≠Φ，只需a大于g（x）的最小值，
而g(x)=2(

1

x

+1)2-2，又x∈P，P=[1，4]，
∴

1

4

≤x≤1，则g（x）最小值=g（4）=

9

8

，∴a＞

9

8

．

点评：本题是对指数函数的综合考查．第一问涉及到大小比较，通常比较大小的方法是作差或作商（要求知道正负）．