Question

【题目】如图，F1、F2分别是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.2
C. ﹣1
D.1+

Answer 1

【答案】D
【解析】解：连结AF1，

∵F1F2是圆O的直径，

∴∠F1AF2=90°，即F1A⊥AF2，

又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，

∴∠AF2F1= ∠AF2B=30°，

因此，Rt△F1AF2中，|F1F2|=2c，|F1A|= |F1F2|=c，

|F2A|= |F1F2|= c．

根据双曲线的定义，得2a=|F2A|﹣|F1A|=（ ﹣1）c，

解得c=（ +1）a，

∴双曲线的离心率为e= = +1．

故选D．