Question

 

    在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

    （Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

    （Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解】（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴S_ABCD＝

．……………… 3分

则V＝．    ……………… 5分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥P C．           ……………… 7分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥C D．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PA    C．∴CD⊥P  C．

∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥C D．则EF⊥P  C．      ……… 11分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 12分