Question

如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）
（I）则 =（0，3，4）， =（﹣8，0，0）
由此可得 · =0
∴ ⊥  即AP⊥BC
（II）设 =λ ，λ≠1，
则 =λ（0，﹣3，﹣4）  = + = +λ =（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）  =（﹣4，5，0）， =（﹣8，0，0）
设平面BMC的法向量 =（a，b，c）
则   
令b=1，则 =（0，1， ）
平面APC的法向量 =（x，y，z）则  即 
令x=5 则 =（5，4，﹣3）
由 =0 得4﹣3 =0
解得λ=  故AM=3
综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3