Question

【题目】已知函数u（x）=）

（Ⅰ）若曲线u（x）与直线y=0相切，求a的值．

（Ⅱ）若e+1＜a＜2e，设f（x）=|u（x）|﹣，求证：f（x）有两个不同的零点x1，x2，且|x2﹣x1|＜e．（e为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1） ； （2）见解析.

【解析】

（Ⅰ）设出切点坐标，求出函数的导数，根据斜率是0，求出a的值即可；

（Ⅱ）求出必存在x0∈（e，2e），使得u（x0）=0，即=lnx0，通过讨论x的范围，求出函数的零点的范围，从而证明结论即可．

（Ⅰ）设切点

又切点在函数上，即

（Ⅱ）证明:不妨设， ，所以在上单调递减，

又，

所以必存在，使得，即

.

①当时，，

所以在区间上单调递减，

注意到，

所以函数在区间上存在零点，且. …… 10分

②当时, 所以在区间上单调递增，

又，

且，

所以在区间上必存在零点，且.

综上，有两个不同的零点、，且.