Question

已知f（x）=ax²+x-a，a∈R．
（1）若不等式f（x）＞（a-1）x²+（2a+1）x-3a-1对任意实数x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

解：（1）原不等式等价于x²-2ax+2a+1＞0对任意的实数x∈[-1，1]恒成立，
设g（x）=x²-2ax+2a+1=（x-a）²-a²+2a+1
①当a＜-1时，g_min（x）=g（-1）=1+2a+2a+1＞0，得a∈Φ；
②当-1≤a≤1时，，得；
③当a＞1时，g_min（x）=g（1）=1-2a+2a+1＞0，得a＞1；
综上
（3）不等式f（x）＞1即为ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0
因为a＜0，所以，因为
所以当时，，解集为{x|}；
当时，（x-1）²＜0，解集为?；
当时，，解集为{x|}
分析：（1）原不等式等价于x²-2ax+2a+1＞0对任意的实数x∈[-1，1]恒成立，设g（x）=x²-2ax+2a+1=（x-a）²-a²+2a+1，只需g_min（x）＞0即可．
（2）不等式f（x）＞1即为ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0转化为二次不等式求解，注意分类讨论．
点评：本题考查二次函数性质和一元二次不等式的解法，分类讨论思想，均属基本知识和能力．